Üslü İfadeler: Öğrencilerde Görülen Kavram Yanılgıları

Kazanım eşlemesi taslaktır. Aşağıdaki bölümlerde geçen kazanım kodları kaynağın kendi beyanı değil, bu yanılgının hangi LGS kazanımını tehdit ettiğine dair bizim okuma önerimizdir; öğretmen gözden geçirene kadar taslak sayılır. Ayrıntı: yöntem sayfası §8.

Taban, üs, parantez ve eksi işareti nerede birbirine karışıyor?

Bağlı kazanım: M.8.1.2.1 Güç: Bu kümedeki bazı temel yanılgılar farklı kaynaklarda tekrar eder; ancak kayıtların çoğunda yanılgı düzeyinde oran yoktur.

A1. Tekrarlı çarpımı üslü gösterime çevirememe

Öğrenci tam sayı, rasyonel sayı veya aynı sayıların çarpımı verildiğinde tabanı ve üssü belirleyemiyor; sayı türü değişince gösterimin anlamını da kaybediyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 42, s. 45, s. 46 ve s. 65.

A2. Tekrarlı toplamı üslü gösterim sanma

Öğrenci üslü ifadenin tekrarlı çarpım anlattığını gözden kaçırıp aynı sayıların toplamını üs kullanarak yazıyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 66.

A3. Üslü ifadenin değerini taban ve üssü işleyerek bulma

Öğrenci tekrarlı çarpım yerine tabanla üssü topluyor, çarpıyor veya eksik ezberlediği bir kuralı uyguluyor.

Öğrenci cevabı: 12. soruda 3⁻² × 5³ işlemi için iki öğrenci tabanları çarpıp tabana, üsleri çarpıp sonucun üssüne yazarak 15⁻⁶ cevabına ulaşmış; üçüncü aşamada emin olduklarını belirtmişlerdir.

Öğrenci cevabı: Öğrencilerin bazıları üsteki sayıyı tabandaki sayı kadar yazıp toplamış, kimisi üsteki sayıyı tabandaki sayı kadar çarpmıştır; bazıları ise üs ile tabandaki sayıyı çarpıp ya da toplayıp yanlış cevap bulmuştur.

Kaynaklar: Uçar (2019), s. 49; Yıldız (2024), s. 75-76; Akdemir Kabalcı (2025), s. 56; Aydoğdu, Tutak & Göçük (2020), s. 244. Son çalışmada verilen %47, yanılgı oranı değil soruya yanlış cevap verme oranıdır.

A4. Taban ile üssün yerini ayırt edememe

Öğrenci aᵇ ile bᵃ ifadelerini aynı görüyor veya tabanla üssü yer değiştirilebilir parçalar sanıyor.

Öğrenci cevabı: İki ifadenin de aynı değere eşit olduğunu düşünen öğrenciler gözlemlenmiş; sorudaki ilk ifadeyi doğru yazıp ikinci ifadede taban ile üssü çarpacağını düşünen öğrenciler de olmuştur.

Kaynak: Akdemir Kabalcı (2025), s. 58.

A5. Eksi işaretini parantez varmış gibi tabana katma ya da düşürme

Öğrenci −aⁿ ile (−a)ⁿ ayrımını yapmıyor; eksi işaretini bazen tabana dahil ediyor, bazen işlemden tamamen çıkarıyor.

Öğrenci cevabı: −2² işleminin sonucunu 4 olarak yazma.

Öğrenci cevabı: Öğrenciler parantezin olup olmama durumunda aynı sonucu bulmuş; taban negatif tam sayı olup üs çift sayı olduğunda sonucun pozitif olmasını algılayamayan öğrenciler de olmuştur.

Kaynaklar: Aydoğdu, Tutak & Göçük (2020), s. 247; Uçar (2019), s. 46 ve s. 55; Akdemir Kabalcı (2025), s. 57. İlk çalışmadaki %46, yanılgıyı ayrı ölçen bir oran değil soruya yanlış cevap verme oranıdır.

A6. Parantezli negatif sayının tek kuvvetinin işaretini yanlış bulma

Öğrenci parantez içindeki negatif tabanın tek kuvvette negatif kalacağını kullanmıyor; aynı yanılgı pozitif ve negatif üs bağlamlarında yineleniyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 50, s. 54 ve s. 60.

A7. Parantezli negatif sayının çift kuvvetinin işaretini yanlış bulma

Öğrenci negatif tabanın çift kuvvette pozitif değer vereceğini gözden kaçırıyor.

Öğrenci cevabı: Öğrencilerin bazıları üssün tek veya çift olma durumunu görmezden gelerek çözüm yapmış, yani sonucu üsten bağımsız olarak taban negatifse sonucun da negatif olacağını düşünmüşlerdir.

Kaynaklar: Uçar (2019), s. 51, s. 54 ve s. 59; Akdemir Kabalcı (2025), s. 58.

A8. Negatif rasyonel sayıda işaret ve parantezi ayıramama

Öğrenci rasyonel sayının kuvvetini yazarken parantezin tabanı belirlediğini kullanmıyor ve negatif işareti tabanın dışında bırakıyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 43 ve s. 47.

Tabanı 1 veya 0 olan, üssü sıfır ya da negatif olan ifadeler nerede anlamını yitiriyor?

Bağlı kazanımlar: M.8.1.2.1 · M.8.1.2.2 Güç: Sıfırıncı ve negatif üs yanılgıları birden çok kaynakta görülür; bunların yaygınlığını gösteren yanılgı düzeyinde oran yoktur.

B1. Birin ve sıfırın kuvvetlerini genel kurallarla karıştırma

Öğrenci taban bir veya sıfır olduğunda kuvvetin değerini belirleyemiyor; taban ile üssü ilişkisiz bir işlem gibi ele alıyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 53 ve s. 55.

B2. Sıfırıncı kuvveti sıfır ya da tabanın kendisi sanma

Öğrenci sıfırıncı kuvveti bir olarak değerlendirmiyor; sıfırı tabanla çarpıyor veya üssü tabana ekliyor.

Öğrenci cevabı: 17. soruda 2⁰ ifadesinin eşiti sorulduğunda bir öğrenci yanlış seçeneği işaretlemiş, yanlış açıklama yapmış, üçüncü aşamada eminim demiş ve 2 cevabını vermiştir.

Öğrenci cevabı: Öğrenciler sıfırıncı üsle karşılaştıklarında üs ile tabanı çarpacağını düşünüp sıfırın çarpma işleminde yutan eleman özelliğini yanlış yorumlayıp sonucu sıfır bulmuştur; üs ile tabanı toplayıp sonucu tabandaki sayıya eşit bulan da olmuştur.

Kaynaklar: Uçar (2019), s. 55 ve s. 77; Yıldız (2024), s. 75-77; Akdemir Kabalcı (2025), s. 56-57.

B3. Negatif üssü sonucun eksi işareti sanma ya da yok sayma

Öğrenci negatif üssün ters çevirme anlamını kuramıyor; eksiyi tabana taşıyor, görmezden geliyor veya sonucun önüne eksi koyuyor.

Öğrenci cevabı: 16. soruda 3² + 5⁻² işlemi için iki öğrenci kuvvetteki negatif sayıyı görmezden gelip tabanları ve üsleri çıkararak 0 sonucuna ulaşmış; bir öğrenci ise negatifi yok sayıp üsleri toplayarak 5⁰ sonucuna ulaşmıştır. Üçü de emin olduklarını belirtmiştir.

Öğrenci cevabı: Öğrenciler üslü ifadenin anlamından yola çıkıp üs kadar tabandaki sayının çarpılacağını söylemiş; bu kuralı negatif üsse genellediklerinde negatif bir sayı kadar sayının yazılıp çarpılması anlamsız geldiği için üssü pozitifmiş gibi işlem yapmışlardır.

Kaynaklar: Uçar (2019), s. 57 ve s. 59; Yıldız (2024), s. 75-78; Akdemir Kabalcı (2025), s. 57-58.

B4. Rasyonel sayının kuvvetini ve negatif kuvvetini hesaplayamama

Öğrenci pay ile paydayı birlikte üslendiremiyor; negatif kuvvette ters çevirme işlemini de kuramıyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 61 ve s. 63.

Üslü ifadelerde işlem kuralları hangi işleme yanlış taşınıyor?

Bağlı kazanım: M.8.1.2.2 Güç: Bu kümenin ayrıntılı kayıtları büyük ölçüde tek tezden gelir; üssün üssü ve kural genelleme yanılgıları başka bir kaynakta da görünür.

C1. Üssün üssünde üsleri toplama

Öğrenci (aᵐ)ⁿ ifadesinde üsleri çarpmak yerine topluyor veya ifadeyi tek bir üslü gösterime dönüştüremiyor.

Öğrenci cevabı: Öğrenciler üslü sayının üssü ile karşılaştıklarında üsleri toplamaları gerektiğini düşünmüştür; tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır kuralını buraya da genellemişlerdir.

Kaynaklar: Uçar (2019), s. 76 ve s. 77; Akdemir Kabalcı (2025), s. 58.

C2. Üssün üssünde parantezi ve işareti dikkate almama

Öğrenci üssün üssü işlemlerinde parantezin kapsadığı tabanı görmüyor; negatif ifadenin işaretini düşürüyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 77 ve s. 78.

C3. Aynı tabanlı çarpımda tabanları çarpma

Öğrenci aynı tabanlı ifadelerin çarpımında tabanı koruyup üsleri toplamak yerine tabanları çarpıyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 81.

C4. Aynı üslü çarpım kuralını kuramama

Öğrenci üsler aynıyken tabanların çarpılacağını göremiyor; üsleri çarpıyor, tabanları topluyor veya ifadeleri tek üs altında birleştiremiyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 84 ve s. 85.

C5. Aynı tabanlı bölmede üsleri toplama

Öğrenci aynı tabanlı ifadelerin bölümünde üsleri çıkarmak yerine topluyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 88.

C6. Aynı üslü bölümü tek üslü ifade olarak yazamama

Öğrenci üsleri aynı iki ifadenin bölümünü tabanların bölümü üzerinde ortak üs biçiminde gösteremiyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 91.

C7. Duyduğu tek kuralı bütün üslü işlemlere uygulama

Öğrenci işlemin çarpma mı bölme mi olduğuna ve taban ya da üslerin eşitliğine bakmadan tek bir ezber kuralı her soruya taşıyor.

Öğrenci cevabı: Tabanları aynı olan iki üslü ifadeyi çarparken üslerin toplanması kuralını, tabanları farklı ifadelerde de uygulayıp hem tabanları hem üsleri çarpmışlardır; bölmede tabanları farklı iki ifadenin hem tabanlarını hem üslerini bölmüşlerdir.

Kaynak: Akdemir Kabalcı (2025), s. 58-59.

10'un kuvvetleri ve bilimsel gösterim nerede kurulamıyor?

Bağlı kazanımlar: M.8.1.2.3 · M.8.1.2.5 Güç: Bu kümedeki kayıtların tamamı aynı araştırmadan gelir ve nicel yaygınlık oranı verilmemiştir.

D1. 10'un kuvvetleriyle çözümleme ile sayıyı yeniden kurma arasında geçiş yapamama

Öğrenci ondalık sayıyı 10'un kuvvetleriyle çözümleyemiyor veya çözümlenmiş ifadeden sayının kendisine dönemiyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 68 ve s. 71.

D2. Basamak yerini ve sıfırın yer tutuculuğunu gözden kaçırma

Öğrenci çözümlemede kuvvetleri yanlış basamağa bağlıyor ya da sıfır bulunan basamağı tamamen atlıyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 69.

D3. Bilimsel gösterimin katsayı koşulunu kuramama

Öğrenci sayıyı bilimsel gösterime çeviremiyor veya katsayıyı gerekli aralıkta tutmuyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 94 ve s. 95.

D4. Sayının büyüklüğüyle onun kuvvetinin işaretini ilişkilendirememe

Öğrenci sayının birden küçük ya da büyük olduğunu görmeden 10'un kuvvetinin işaretini seçiyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 95 ve s. 96.

D5. Virgülü kaydırırken kuvveti ters yönde değiştirme

Öğrenci virgülün hareket yönü ile onun kuvvetindeki değişimi ters eşliyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 98.

D6. Bilimsel gösterimin katsayısını veya 10'un kuvvetini işleme katmama

Öğrenci bilimsel gösterimin iki çarpanından birini görmezden geliyor; yalnız katsayıyla ya da yalnız 10'un kuvvetiyle işlem yapıyor.

Kaynak: Uçar (2019), s. 100.

Üslü ifadelerde hangi kazanımda kaç kayıt var?

Bir kayıt birden çok taslak kazanıma bağlanabildiği için satırlar birbirini dışlamaz.

Kazanım eşlemesi taslaktır. Bu tablodaki kodlar kaynakların beyanı değil, bizim eşlememizdir ve öğretmen onayından geçmemiştir. Bkz. yöntem sayfası §8.

Sayı uyumu: Envanterde 59 kayıt var, bu sayfada 25 başlık. Fark şuradan geliyor: aynı temel yanılgının farklı sayı türlerinde, soru biçimlerinde veya kaynaklarda görülen kayıtları tek kavramsal başlık altında kümeledik; kaynak ve sayfa izleri başlıkların altında korunmuştur.

Yanlış cevap işlem hatası mı, kavram yanılgısı mı?

İkisi aynı şey değildir ve ayrımı tek bir doğru/yanlış cevaba bakarak yapamazsınız. İşlem hatası, öğrencinin doğru kuralı bildiği hâlde o anki dikkat, sıra ya da hesap kaybı yüzünden yanlış sonuca ulaşmasıdır; aynı soruyu tekrar çözdüğünde çoğunlukla kendi kendine düzeltir. Kavram yanılgısı ise öğrencinin doğru sandığı, tutarlı bir yanlış kuraldır; aynı yapıdaki farklı bir soruda da aynı şekilde yanlış yapar, çünkü kullandığı kural kendi içinde tutarlıdır.

Tek sorudan kesin tanı konmaz. Bir yanlış cevap, o anki bir dikkat kaybı da olabilir, yerleşmiş bir yanlış kural da. Ayrımı görünür kılan şey cevabın kendisi değil, öğrencinin gerekçesi ve aynı yapıdaki ikinci bir soruda ne yaptığıdır.

Aynı yanlış cevap, iki farklı kaynak (temsili örnek)

Aşağıdaki örnek gerçek bir öğrenciye ait değildir; envanterdeki iki bulguyu (üssün üssünde üsleri toplama, bkz. yukarıda C1; işlemsel ile kavramsal eksikliğin ayrımı, Akdemir Kabalcı 2025, s. 29) tek bir soru üzerinden göstermek için kurulmuştur.

Soru: (a²)³ ifadesinin sonucu kaçtır?

Sınırı çizen şey ilk sorudaki cevap değil, ikinci sorudaki tekrardır. Öğrenci 1, farklı harflerle kurulmuş aynı yapıdaki soruda da aynı yanlış kuralı uyguladığı için elde, envanterde belgelenen bir yanılgıya karşılık gelen bir örüntü vardır. Öğrenci 2 ise kuralı biliyor; hatasını kendisi fark edip düzeltiyor.

Kaynak: Akdemir Kabalcı (2025), s. 29 (Tablo 5): tezin kendi verisinde de aynı yanlış cevabın (üslerin toplanması) bir kısım öğrencide işlemsel bilgi eksikliğinden, bir kısmında ise taban ile üs kavramlarının karıştırılmasından kaynaklandığı ayrı ayrı not edilmiştir.

Evde ne yapılabilir, ne beklenemez

Veli ya da öğretmen olmayan birinden kesin tanı koyması beklenmez. Yapılabilecek olan: cevabı düzeltmeden önce “Buraya nasıl ulaştın?” diye sormak, aynı yapıda ikinci bir soru daha vermek ve iki cevabın aynı gerekçeyle mi geldiğine bakmaktır. Tek soruda duraksama, tekrar eden aynı gerekçe kadar bilgi vermez.

Bu sayfanın sınırı

• Kaynak yoğunlaşması. Envanterdeki 59 kaydın 46'sı Uçar'ın (2019) tezinden gelir. Dört kaynak bulunması, her başlığın dört ayrı araştırmada tekrarlandığı anlamına gelmez.
• Kaynakların bağımsızlığı için yalnız envanterdeki kaynak notlarına bakıldı; bu, bağımsızlığın kanıtı değildir. Dört kaynak dört farklı üniversitede (Uşak, Fırat, Recep Tayyip Erdoğan, Erciyes), farklı yıllarda ve farklı örneklem büyüklükleriyle (n=225, 100, 13, 150) toplanmıştır; envanterin kendi kaynak notlarında bu dört kayıt kümesinin aynı öğrenci verisini paylaştığına dair bir işaret yoktur. Tek istisna ölçüm aracıdır: Yıldız'ın (2024) kullandığı üç aşamalı test kendi tezinin ürünü değildir, Baran Bulut, Güveli ve Güveli'nin (2021) alan yazın taramasından geliştirdiği bir araçtır. Bu yüzden Yıldız (2024) kaydı, diğer üçünden bağımsız olarak yanılgıyı yeniden keşfetmiş bir çalışma değil, var olan bir kategorizasyonu kendi örnekleminde doğrulayan bir çalışma olarak okunmalıdır.
• Yaygınlık sınırı. Kayıtların yalnız 2/59'unda oran vardır. Bu iki oran da yanılgıyı ayrı ölçmek yerine ilgili soruya yanlış cevap veren öğrencileri gösterir; sayfa esas olarak hangi yanılgılar var sorusunu yanıtlar, ne kadar yaygın sorusunu değil.
• Yanılgı ve hata ayrımı. Uçar'ın (2019) tabloları Hata ve Yanılgı Türü başlığını kullanır ve ayrımı her kayıtta açıkça kurmaz. Açıkça işlem hatası denilen bulgular envantere alınmamış olsa da kalan kayıtların güveni bu nedenle düşüktür.
• Küçük ve seçilmiş örneklem. Yıldız'ın (2024) çalışması n=13 amaçlı seçilmiş öğrenciyle yürütülmüştür. Bu kayıtlardaki ayrıntılı öğrenci cevapları yanılgının nasıl kurulduğunu gösterir; yaygınlık kestirimi vermez.
• Örneklem coğrafyası. Çalışmalar Uşak, Kayseri, Rize ve Elazığ'da yürütülmüştür; örneklem Türkiye geneli değildir.

Kaynaklar

Aşağıdaki çalışmaların künyeleri YÖK Ulusal Tez Merkezi kayıtlarından alınmıştır.

1. Uçar, Esra (2019). Yüksek lisans tezi, Uşak Üniversitesi. Uşak; n=225 sekizinci sınıf öğrencisiyle açık uçlu teşhis testi. 46 kayıt.
2. Akdemir Kabalcı, Semanur (2025). Yüksek lisans tezi, Erciyes Üniversitesi. Kayseri; n=150 sekizinci sınıf öğrencisiyle açık uçlu kavram yanılgısı ölçeği. 8 kayıt.
3. Yıldız, Meryem (2024). Yüksek lisans tezi, Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi. Rize; n=13 sekizinci sınıf öğrencisiyle üç aşamalı kavram testi ve görüşmeler. 3 kayıt.
4. Aydoğdu, Mustafa; Tutak, Tayfun; Göçük, Şirin (2020). Elazığ; n=100 sekizinci sınıf öğrencisiyle yarı yapılandırılmış teşhis testi. 2 kayıt.

Öğretmen föyü (PDF)

Kayıtları sınıfta kullanılabilir bir çalışma sayfasına dönüştürdük: üs notasyonunda işaret ve parantez kapsamı üzerine hazırlanmış özgün etkinlik, cevap anahtarı ve öğretmen kullanım notuyla. Materyal bir tanı testi değildir; tek bir yanıttan öğrenci hakkında kesin sonuç çıkarmaz.

Föyü indir (PDF, CC BY 4.0 — kalıcı kayıt: Zenodo). Ayrıca MERLOT'ta katalog kaydı; İngilizce sürümü TES'te.