Olasılıkta yanlış cevap, her zaman işlem dikkatsizliği değildir. Dört bağımsız çalışmadan derlenen 21 kayıt; örnek uzayı, istenen durumu, eşit şansı ve 0 ile 1 arasındaki sınırı kurarken farklı yanlış anlamaların oluşabildiğini gösteriyor. Bu, çocuğunuzda bu yanılgı var demek değildir; çözümde payı ve paydayı neden seçtiğini sormak için bir çerçevedir.
21 kaydın ikisi, öğrenci kâğıdından değil 38 ortaokul matematik öğretmeninin görüşlerinden gelir. Kaynakların çoğu yanılgı başına oran vermez; bu sayfa hangi yanlış anlayışların belgelendiğini anlatır, ne kadar yaygın olduklarını değil. Bir bulgunun burada yer alması, çocuğunuzda bulunduğu anlamına gelmez.
Olasılık sorusunda pay ve payda neden farklı biçimlerde karışıyor?
Bir olasılık kesrinde pay, istenen durumların; payda ise olabilecek bütün durumların sayısını taşır. Kaynaklardaki kayıtlar, öğrencinin bu iki parçayı tek tek bildiği hâlde soru içindeki rollerini değiştirebildiğini gösteriyor. Örneğin verilen sayıları paydaya ayrı ayrı yazmak, soru metnindeki sayıyı payda sanmak ya da istenen durum sayısını daima 1 almak birbirinden farklı yanlış anlamalardır.
| Yanılgı kümesi | Başlık sayısı |
|---|---|
| Paydayı yanlış kurma | 5 |
| Payı yanlış kurma | 5 |
| Eşit şans | 4 |
| Olasılık değerinin sınırları | 4 |
| Kavramların adları | 2 |
Örneğin 2 ya da 3 sorusunda öğrenci, tüm topları saymak yerine toplamı 2 kabul edebilir; başka bir öğrenci de uygun sonuçların ikisini birleştirmek yerine yalnız birini sayabilir. Siyah top çekme olasılığında yalnız siyah top sayısına bakmak veya en dolu torbayı daha şanslı sanmak da pay ile paydayı birbirinden koparan iki ayrı kayıttır.
Kaynak: Dereli (2009), s. 46-47; Sezgin Memnun, Altun ve Yılmaz (2010), s. 18-22.
Eşit şansla ilgili sezgiler nerede yanıltıyor?
Eşit şans, bir olayın yalnız iki sözlü seçeneği olmasına veya renk türlerinin sayısına bakılarak kurulmaz. Çakmak ve Durmuş’un çalışmasında bir öğrenci, “ya olur ya olmaz” diyerek verilen yüzdeyi yarı yarıya saymıştır. Başka bir öğrenci de üç renk olduğu için, miktarları farklı olsa bile her rengin olasılığını üçte bir kabul etmiştir.
Bu kümede iki kayıt öğrencilerin cevaplarından değil, öğretmenlerin gözlemlerinden gelir. Gürbüz ve Erdem’in 2017 çalışmasında öğretmenler, bazı öğrencilerin zarda büyük sayıları daha olası gördüğünü ya da önceki sonuçların sonraki sonucu etkilediğini düşündüğünü aktarmıştır. Bu bulgular öğrenci kâğıdıyla doğrulanmış ölçümler gibi okunmamalıdır.
Kaynak: Çakmak ve Durmuş (2015), s. 35-36; Gürbüz ve Erdem (2017), s. 369-370.
Sonucu kontrol eden sınırlar nasıl unutuluyor?
Basit olayların olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır. Kaynaklarda 7/6 ya da 8/6 gibi sonuçları normal kabul eden öğrenci yanıtları yer alır. Bu yüzden işlemin sonunda sonucu bu aralıkla karşılaştırmak, doğru kesrin kurulduğunu sınamak için kullanılabilir. Ancak bu kontrol tek başına öğrencinin hangi kavramı karıştırdığını göstermez.
İmkânsız olaylarda da önce torbada ya da örnek uzayda sorulan sonucun bulunup bulunmadığına bakmak gerekir. Kaynakta, torbada olmayan 7 numaralı top için 1/6 yazan ve imkânsız olayı ayrık olay diye adlandıran öğrenci yanıtları vardır. Olmama olasılığı için ayrıca bir formül aramak da aynı kümede yer alan başka bir kayıttır.
Kaynak: Sezgin Memnun, Altun ve Yılmaz (2010), s. 21-22; Çakmak ve Durmuş (2015), s. 36 ve 48.
İşlemi yapıp kavramı adlandıramamak ne demek?
Bir öğrenci zarda çift gelme olasılığını doğru bulabilir; fakat 2, 4 ve 6’nın olayın neyi olduğunu sorunca “benden istenilen durumlar” diyebilir. Kaynak, öğrencilerin çıktı, olay, deney ve tümleyen kavramlarını işlemleri yapabildikleri hâlde adlandıramadıklarını ya da birbirine karıştırdıklarını bildirir. Bu, doğru sonucun her zaman kavramı kurduğunu göstermediği bir sınırdır.
Kaynak: Çakmak ve Durmuş (2015), s. 47-48.
Derste ne görüyorum
Olasılık konusu, TYT-AYT öğrencilerinin en çok çekindiği konudur. Bu yüzden olasılık ve onunla bağlantılı permütasyon, kombinasyon, binom konuları daha az çalışılır ve daha fazla ön yargıya sahiptir. TYT-AYT öğrencilerinde bile temel olasılık kavramlarında eksiklik olduğu ve bu konuda öğrenme güçlüğü çekildiği görülür. Bu yüzden 8. sınıf müfredatındaki olasılık konusu işlenirken önceki dönemde öğrenilenler mutlaka sorgulanmalı. Temel örnekler (zar, yazı-tura, torbadan top çekme vb.) sınıfa getirilerek gösterilmeli ve öğrencinin akıl yürütmesi sağlanmalı. Günlük hayatta karşılaştıkları herhangi bir durumun gerçekleşme olasılığı sorulmalı ve öğrencinin konuyu içselleştirmesi sağlanmalı. Öğrencinin LGS düzeyindeki olasılık başarısı, ileride TYT-AYT üniversite sınavlarındaki başarısını doğrudan etkileyecektir.
— Muhammed Erin
Bu sayfanın sınırı
Bu sayfa bir tanı aracı değildir ve şu sınırlarla okunmalıdır:
- 21 kaydın 20’si için kaynak çalışmalar yanılgı başına oran vermez. Bu nedenle hangi yanılgıların belgelendiğini anlatır; yaygınlık tahmini yapmaz.
- A4 kaynağında yüzde 17 olarak verilen oran, soruyu yanlış yanıtlayanların tamamına aittir; gerekçesiyle bu yanılgıyı gösteren öğrenci sayısı farklıdır. Bu nedenle sayfa bu oranı yaygınlık ölçüsü olarak kullanmaz.
- Zarda büyük sayıların daha olası görülmesi ve önceki sonuçların sonrakini etkilediği düşüncesi, öğrenci verisi değil 38 öğretmenin görüşüdür.
- Kaynak örneklemleri sınırlıdır; Türkiye geneline ilişkin çıkarım yapılamaz.
- Permütasyon, kombinasyon, bağımlı-bağımsız olaylar ile deneysel, teorik ve öznel olasılık üzerine kayıtlar bu sayfanın kapsamına alınmamıştır.
Sık sorulan sorular
Bu sayfa, dört bağımsız çalışmadan derlenen 21 kaydı 20 başlıkta toplar. Başlıklar örnek uzayı ve istenen durumu kurma, eşit şans, olasılık değerinin sınırları ve kavramları adlandırma çevresinde toplanır. Bu bulgular, çocuğunuzda bir yanılgı bulunduğunu göstermez; yalnız hangi gerekçelerin dinlenebileceğini gösterir.
Bu kayıt, örnek uzayı tek bir sayı olarak kuramama başlığıdır. Dereli’nin 2009 tarihli çalışmasında öğrenci, 4 kırmızı ve 6 sarı kalem için paydada 10 yerine sayıları ayrı ayrı bırakmıştır. Sorun renklerin sayılması değil, olabilecek bütün sonuçların aynı paydada toplanması gerektiğinin kurulmamış olmasıdır.
Burada öğrenci, istenen iki sonucu bütün örnek uzay sanır. Sezgin Memnun, Altun ve Yılmaz’ın 2010 çalışmasında bazı öğrenciler 2 ya da 3 sorusunda toplamı 2 alıp iki yarımı çarpmıştır. Oysa toplam olası durumlar sorudaki tüm toplardır; 2 ve 3 yalnız istenen sonuçları gösterir.
Siyah top sayısı tek başına olasılığı belirlemez; o sayı torbadaki toplam top sayısıyla birlikte okunur. Sezgin Memnun ve arkadaşlarının 2010 çalışmasında bazı öğrenciler, toplamları hesaba katmadan yalnız siyah top sayısı yüksek torbayı seçmiştir. Bu, uygun durumla bütün durum arasındaki ilişkiyi kurmama yanılgısıdır.
Torbadaki toplam top sayısı arttığında belirli bir rengin şansı kendiliğinden artmaz; şansı belirleyen, rengin toplam içindeki payıdır. Sezgin Memnun ve arkadaşlarının 2010 çalışmasında bir öğrenci, renk dağılımına bakmadan en çok top bulunan torbayı seçmiştir. Bu cevap, toplam nesne sayısını tek başına şans ölçüsü saymayı gösterir.
İstenen sonuç birden çok nesneyi kapsıyorsa pay her zaman 1 değildir. Dereli’nin 2009 tarihli çalışmasındaki öğrenci, kırmızı kalem seçimini 1/10 diye yazmıştır; oysa kırmızı kalemler birden fazladır. Bu yanılgıda öğrenci seçimin tek bir kalem olmasını, uygun sonuçların da tek olmasıyla karıştırır.
Zarın üzerindeki 5, istenen yüzün etiketi; uygun çıktı sayısı değildir. Çakmak ve Durmuş’un 2015 çalışmasında bir öğrenci 5 gelme olasılığını 5/6 yazmıştır. Eş olasılıklı zar için 5 gelen yalnız bir yüz vardır. Öğrenci, yüzün sayısal adını uygun sonuç sayısı olarak okumuştur.
“Veya” bağlacı, seçeneklerden yalnız birini değil, belirtilen sonuçların her birini kapsar. Sezgin Memnun ve arkadaşlarının 2010 çalışmasında 2 ya da 3 sorusuna 1/6 yanıtı verilmiştir. Bu cevapta öğrenci iki uygun sonucu birleştirmek yerine tek bir sonucu paya yazmaktadır. Soruda birini seçmek, diğer seçeneği kapsam dışına çıkarmaz.
“2 ya da 3” ifadesi iki topun aynı anda çekilmesini istemez; tek çekilişte sonuçlardan birinin gelmesini ister. Sezgin Memnun ve arkadaşlarının 2010 çalışmasında bazı öğrenciler bu olayı 0 ya da olamaz diye yanıtlamıştır. Yanılgı, “veya” bağlacını aynı anda olma şartı taşıyormuş gibi okumaktır.
Bir olayın gerçekleşmesi ile gerçekleşmemesi iki mantıksal seçenektir; bu, iki seçeneğin eşit şanslı olduğu anlamına gelmez. Çakmak ve Durmuş’un 2015 çalışmasında bir öğrenci verilen yüzde 60’ı reddedip sonucu yüzde 50 saymıştır. Olasılık, seçenek sayısından değil olayın koşullarından hesaplanır. Verilen oran, olayın gerçekleşme payını anlatır.
Renk türlerinin sayısı, her rengin eşit sayıda nesne içerdiğini göstermez. Çakmak ve Durmuş’un 2015 çalışmasında bir öğrenci, sayıları farklı üç renkli bilye grubunda her renk için 1/3 demiştir. Eşit şans, renk adlarının sayısına değil her renge ait uygun nesne sayısının toplam içindeki payına bağlıdır.
Adil bir zarda 5 ya da 6 yazan yüzler, 1 ya da 2 yazan yüzlerle aynı sayıda ve aynı koşuldadır. Gürbüz ve Erdem’in 2017 çalışmasında öğretmenler, bazı öğrencilerin büyük sayıları daha güçlü gördüğünü bildirmiştir. Bu öğrenci kâğıdı verisi değil, öğretmen görüşüne dayanan bir bulgudur.
Eş koşullarda yapılan yeni bir denemede önceki sonuçlar bir sonraki sonucu değiştirmez. Gürbüz ve Erdem’in 2017 çalışmasında öğretmenler, öğrencilerde önceki sonuçlara göre sonraki sonucu tahmin etme eğilimi gördüklerini bildirmiştir. Bu kayıt öğrenci yanıtına değil, 38 ortaokul matematik öğretmeninin görüşüne dayanır.
Basit bir olayın olasılık değeri 0 ile 1 arasında olmalıdır. Sezgin Memnun ve arkadaşları ile Çakmak ve Durmuş’un çalışmalarında, 7/6 ya da 8/6 gibi sonuçları normal kabul eden öğrenci yanıtları vardır. Sonucun bu aralıkta olup olmadığını kontrol etmek, hesapta payın veya paydanın yanlış kurulup kurulmadığını fark ettirebilir.
Formül kurulmadan önce sorulan olayın örnek uzayda bulunup bulunmadığı kontrol edilmelidir. Sezgin Memnun ve arkadaşlarının 2010 çalışmasında torbada olmayan 7 numaralı top için bazı öğrenciler 1/6 yazmıştır. Bu yanıt, olayın imkânsız olduğunu fark etmeden kesir kuralını mekanik biçimde uygulamayı gösterir.
İmkânsız olay, örnek uzayda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaydır; ayrık olay başka bir olasılık kavramıdır. Sezgin Memnun ve arkadaşlarının 2010 çalışmasında bir öğrenci, torbada olmayan top için “Böyle bir top yoktur, ayrık olay” demiştir. Öğrenci imkânsızlığı fark etmiş, fakat olayın adını yanlış kavramla etiketlemiştir.
Olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1’dir; bu ilişki olmama olasılığını kurmak için kullanılır. Çakmak ve Durmuş’un 2015 çalışmasında öğrencilerin olmama olasılığı için ayrı bir formül aradığı görülmüştür. Yanılgı, olay ile tümleyenini birbirinden bağımsız iki hesap gibi ele almaktır. Toplamın kalan kısmı olmama durumunu verir.
Bir işlemi uygulamak, işlemde geçen kavramın adını ve anlamını kurduğu anlamına gelmeyebilir. Çakmak ve Durmuş’un 2015 çalışmasında öğrencilerin çıktı, olay, deney ve tümleyen kavramlarını adlandıramadığı ya da karıştırdığı belirtilir. Örneğin öğrenci, doğru çözdüğü çift gelme sorusundaki çıktıları “benden istenilen durumlar” diye adlandırmıştır.
Hayır. Bu sayfa bir tanı aracı değildir; burada yer alan bir yanılgı çocuğunuzda da var demek değildir. Kaynakların çoğu yanılgı başına oran vermediği için yaygınlık tahmini de yapılamaz. Bulgular farklı ve sınırlı örneklemlerden gelir; çocuğun durumu ancak kendi çözümü ve gerekçesi üzerinden değerlendirilir.
21 kayıt, dört çalışmada bulunan ayrı veri kayıtlarının sayısıdır. Olasılığın 1’den büyük çıkmasını normal sayma yanılgısı iki bağımsız çalışmada ayrı ayrı kaydedildiği için envanterde iki kayıttır. Sayfada aynı yanlış anlayış tek başlıkta anlatılır. Bu nedenle sayfada 20 başlık, envanterde ise 21 kayıt bulunur.
Kaynaklar
- Dereli, A. (2009). İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinin olasılık konusundaki hataları ve kavram yanılgıları. Yüksek lisans tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, s. 46-47.
- Sezgin Memnun, D., Altun, M. ve Yılmaz, A. (2010). İlköğretim sekizinci sınıf öğrencilerinin olasılıkla ilgili temel kavramları anlama düzeyleri. Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 23(1), 11-29; bu sayfadaki kayıtlar s. 18-22.
- Çakmak, Z. T. ve Durmuş, S. (2015). İlköğretim 6-8. sınıf öğrencilerinin istatistik ve olasılık öğrenme alanında zorlandıkları kavram ve konuların belirlenmesi. Abant İzzet Baysal Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 15(2), 27-58; bu sayfadaki kayıtlar s. 35-36 ve s. 47-48.
- Gürbüz, R. ve Erdem, E. (2017). Olasılık konusunun öğrenilmesini zorlaştıran nedenler hakkında ortaokul matematik öğretmenlerinin görüşleri. Anemon Muş Alparslan Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi, 5(2), 361-380; bu sayfadaki kayıtlar s. 369-370.
- Lemma kavram yanılgısı envanteri (yayımlanmamış çalışma kaydı): 21 kaydın derleme zemini. Yöntem, eleme ölçütleri ve bilinen sınırlar için yöntem sayfası.
Bu sayfadaki bulgular, basit olayların olma olasılığı konusunda tam metnine erişilen 4 çalışmadan derlenen 21 kayda dayanır. Envanterin tamamı 31 çalışmadan (11 yüksek lisans tezi, 20 dergi makalesi) derlenmiştir ve bu 31 çalışmanın 31'i de Maarif Modeli öncesi müfredatla yürütülmüştür; kavram yanılgıları müfredattan büyük ölçüde bağımsızdır, ancak kazanım adlandırmaları farklılık gösterebilir. Tam liste, eleme ölçütleri ve bilinen sınırlar: yöntem sayfası. Son güncelleme: 04.09.2026.