Doğrusal Denklemler: Öğrencilerde Görülen Kavram Yanılgıları

Bu sayfa altı bağımsız araştırmadan derlenen 27 envanter kaydını 23 başlık altında toplar. Başlıklar beş kümede durur: eşitliği denge olarak kuramama, sözel durumdan denklem kuramama, koordinat ve eksen ilişkisini yanlış okuma, denklem ile tablo ve grafik arasında geçiş yapamama, değişkeni ve terimi parçalı okuma. Her başlığın altında kaynağın adı ve sayfa numarası yazılıdır. Liste bir yanılgının belgelendiğini gösterir; bir öğrencide bulunduğunu değil.

Envanterde bu, eşittir işaretini sonuç komutu sanma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci eşittir işaretini iki tarafın denkliği olarak değil, soldaki işlemi yapıp tek bir sonuç yazma komutu olarak okuyor. Kaydın öğrenci cevabı, 97+16 ifadesini toplayıp tek sonuç yazmak ve eşitliğin yalnız bir tarafındaki sayıları işleme almaktır. Çakmak Gürel ve Okur'un 2017 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 13'tür; sayfa 485.

Evet. Envanterde eşitliğin iki tarafında işlemi koruyamama başlığı altında kayıtlıdır ve bu sayfadaki en çok tekrarlanan kayıttır: üç bağımsız araştırmada görülmüştür. Öğrenci bir tarafa yaptığı işlemi diğer tarafa ya aynen taşıyor ya da farklı biçimde uyguluyor; denkliğin korunması yerine yüzeydeki karşıya geçirme hareketine odaklanıyor. Görülme oranları yüzde 12, yüzde 21,05 ve yüzde 20,14'tür.

Envanterde terazi modelinde dengeyi kuramama başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci terazinin iki kefesini eşit tutacak işlemleri belirleyemiyor. Bu kayıt bir önceki başlıktan şurada ayrılır: sorun soyut denklemde değil, dengeyi göstermesi beklenen somut terazi temsilinde ortaya çıkıyor. Altıntaş ve diğerlerinin 2021 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 21,05'tir; sayfa 798.

Envanterde ters işlemi yanlış ya da gereksiz görme başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci denklem çözerken ters işlem yerine başka bir aritmetik yol seçiyor veya ters işlemi atlanabilir bir kural gibi görüyor. Kaydın öğrenci cevabı şudur: dokuz katının yirmi eksiği yirmi beş olan sayı için 25+20'yi 9'a bölmek yerine 25 ile 9'u çarpıp 20 çıkarmak. İki bağımsız çalışmada görülmüştür; oranlar yüzde 12 ve yüzde 15,41.

Envanterde çıkarmanın değişme özelliği olduğunu sanma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci çıkarma işleminde terimlerin yerini değiştirebileceğini düşünüyor ve bu varsayımı denklem çözümüne taşıyor. Bir önceki başlıktan farkı şudur: burada yanlış olan işlem seçimi değil, işlemin özelliğinin bilinmesidir. İki bağımsız çalışmada görülmüştür; görülme oranları yüzde 14 ve yüzde 10,46.

Evet, ayrı bir başlıktır. Envanterde terimi işaretini değiştirmeden karşı tarafa geçirme adıyla kayıtlıdır. Öğrenci terimi eşitliğin öbür tarafına geçirirken işaretini koruyor; yapılan işlemi eşitliğe uygulamak yerine yer değiştirme kuralı izliyor. İşlemi hiç uygulamamaktan farkı şudur: burada bir kural uygulanıyor, ama işaret düşüyor. Kaynak Birgin ve Demirören 2020, sayfa 108-109; bu bulgu için oran verilmemiştir.

Envanterde bilinmeyeni yalnız bir tarafta kullanma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci bir problem için denklem kurarken değişkenin eşitliğin iki tarafında da bulunabileceğini gözden kaçırıyor. Kaydın öğrenci cevabı, denklem kurarken eşitliğin sağ tarafına x değişkenini yazmayıp sadece 10 sayısını göstermektir. Çakmak Gürel ve Okur'un 2017 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 14'tür; sayfa 491.

Evet. Envanterde kat ilişkisini ters kurma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci sözel olarak verilen kat ilişkisini denkleme çevirirken çarpanı yanlış tarafa yazıyor. Kaydın öğrenci cevabı, kızların sayısı erkeklerin sayısının 8 katıdır ifadesi için 8K=E eşitliğini kurmaktır. Bir önceki başlıktan farkı şudur: ilişki eksik değil, ters kurulmuştur. Görülme oranı yüzde 14; sayfa 491-492.

Envanterde bilinmeyensiz denklem kurmaya çalışma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci sözel durumu matematik diline aktarırken bilinmeyen kullanmadan bir eşitlik yazmaya çalışıyor. Önceki iki başlıktan farkı şudur: değişken yanlış yerde değil, hiç yoktur. Kaynak Altıntaş ve diğerleri 2021, sayfa 804; kaynak bu bulgu için nicel bir oran vermemiştir.

Envanterde denklem kavramını kuramama başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci bilinmeyen ile değişkeni anlamlandıramadığı için soruyu denklem bağlamında düşünemiyor. Altıntaş ve diğerlerinin 2021 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 43,75'tir; sayfa 809. Bu oran sayfadaki en yüksek değerdir, ancak yalnız kendi örnekleminde geçerlidir: o çalışmanın oranları bütün örnekleme değil, ilgili soruya yanlış cevap verenlere dayanır.

Envanterde cebirsel ifade ile denklemi birbirinin yerine kullanma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci eşitlik içeren denklem ile yalnız terimlerden oluşan cebirsel ifadeyi aynı kavram gibi kullanıyor. Bir önceki başlıktan farkı şudur: kavram eksik değil, iki kavram birbirine karışmıştır. Kaynak Şahin ve Masal 2021, sayfa 87; kaynak bu genel bulgu için oran vermemiştir.

Envanterde eksene uzaklığı negatif sanma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci bir noktanın eksene uzaklığını negatif değerle gösteriyor; uzaklığın işaret taşımadığını kullanmıyor. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 11,7'dir; sayfa 1177-1178. Bu kümedeki kayıtların tümü aynı geniş örneklemli teşhis testinden gelir ve oranlar testin frekans tablolarına dayanır.

Envanterde eksen ile uzaklık ilişkisini kuramama başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci sıralı ikiliyi okuyabildiği hâlde noktanın eksene uzaklığını hangi koordinatın verdiğini kuramıyor. Bir önceki başlıktan farkı şudur: sorun işaret değil, hangi sayının kullanılacağıdır. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 34,4'tür; sayfa 1177-1178.

Evet. Envanterde sıralı ikiliyi ondalık sayı gibi okuma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci koordinat çiftini virgüllü tek bir sayı sanıyor ve buna göre karşılaştırma yapıyor. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 23,1'dir; sayfa 1178-1179. Oran o çalışmanın kendi örnekleminde geçerlidir; başka çalışmaların yüzdeleriyle doğrudan karşılaştırılamaz.

Envanterde sıralı ikiliyi tam sayı işlemiyle birleştirme başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci koordinatları bir konum çifti olarak değil, üzerinde işlem yapılacak iki tam sayı gibi ele alıyor. Bir önceki başlıktan farkı şudur: ikiliyi tek sayı sanmak değil, iki sayıyla işlem yapmaktır. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 21,6'dır; sayfa 1179-1180.

Envanterde sıralı ikilide x ve y sırasını karıştırma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci noktanın koordinatlarını yazarken apsis ile ordinatın yerini değiştiriyor. Önceki başlıklardan farkı şudur: sorun okumada değil, sıradadır. Bakılacak yer, çocuğun hangi sayıyı neden birinci yazdığını nasıl açıkladığıdır. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 11,7'dir; sayfa 1180-1181.

Envanterde eksene uzaklıkta yanlış koordinatı seçme başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci bir noktanın x eksenine uzaklığını, noktanın y değeri yerine x değeriyle eşleştiriyor. Kaydın öğrenci cevabı, K(7,−5) noktasının x eksenine uzaklığı için 7 seçmektir. Sorun işaret değil, belirli bir eksen ile koordinat arasındaki eşlemedir. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 24,3'tür; sayfa 1184-1185.

Evet. Envanterde önceki sayı yanılgılarını doğrusal denkleme taşıma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci tam sayılar ve denklemlerle ilgili daha önce kurduğu yanlış kuralları doğrusal denklem sorusuna aktarıyor. Bu, doğrusal denklemin kendisine ait yeni bir hata değil, önceden kurulmuş bir kuralın yeni konuya taşınmasıdır. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 21'dir; sayfa 1181-1182.

Envanterde tablodan denkleme geçememe başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci tabloda verilen x-y ilişkisini doğrusal denklem olarak yazamıyor. Kaydın öğrenci cevabı, x değerleri -2, -1, 0, 1, 2 ve y değerleri -7, -4, -1, 2, 5 olan tabloda y=3x-1 yerine y=3x+1 seçmektir. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 23,7'dir; sayfa 1183.

Evet. Envanterde grafikten doğrunun denklemini yazamama başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci verilen doğru grafiğini cebirsel denkleme çeviremiyor. Bir önceki başlıktan farkı şudur: geçilmeye çalışılan kaynak temsil tablo değil, grafiktir. Cancan ve diğerlerinin 2019 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 44,5'tir; sayfa 1184. Bu başlıkların oranları aynı teşhis testinden gelir; başka araştırmalarda bağımsız tekrar gösterilmemiştir.

Envanterde sayı, değişken ve işareti ayrı parçalar sanma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci bir terimdeki katsayıyı, değişkeni ve işareti tek bir bütün olarak okumuyor. Akkaya ve Durmuş'un 2006 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 10,83'tür. Bu kümedeki bulgular aynı bağımsız araştırmanın sekizinci sınıf verisine dayanır; başka çalışmalarda bağımsız tekrarı gösterilmiş değildir.

Evet. Envanterde harfleri soldan sağa eşleştirme başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci eşitliğin iki tarafındaki harflerin yalnız yazılış sırasına göre birbirine karşılık geldiğini düşünüyor. Bir önceki başlıktan farkı şudur: sorun terimin içini parçalamak değil, eşitliğin iki tarafı arasında kurulan eşlemedir. Akkaya ve Durmuş'un 2006 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 18,61'dir.

Envanterde harfleri kelime etiketi sanma başlığı altında kayıtlıdır. Öğrenci değişkeni bir nicelik yerine nesne adının kısaltması olarak okuyor ve farklı değişkenleri tek terimde birleştiriyor. Kaydın öğrenci cevabı, 2a+5c ifadesini 2 armut 5 ceviz okuyup sonucu 7ac olarak yazmaktır. Akkaya ve Durmuş'un 2006 tarihli çalışmasında görülme oranı yüzde 33,61'dir.

Altı bağımsız araştırmaya. Kayıt dağılımı şöyledir: Cancan ve diğerleri 2019'dan 9 kayıt, Çakmak Gürel ve Okur 2017'den 6 kayıt, Akkaya ve Durmuş 2006'dan 6 kayıt, Altıntaş ve diğerleri 2021'den 4 kayıt, Şahin ve Masal 2021'den 1 kayıt, Birgin ve Demirören 2020'den 1 kayıt. En büyük kaynak 27 kaydın 9'unu veriyor; kayıtların tek bir çalışmada yığılmaması bu sayfanın dayanağını güçlendiriyor. Künyelerin tamamı kaynaklar bölümündedir.

Hayır. Bir yanılgının bu listede olması, çocuğunuzda bulunduğu anlamına gelmez. Yaygınlık için de kullanılamaz: 27 kaydın 24'ünde oran vardır, ama oranların tabanı aynı değildir ve her biri yalnız kendi örnekleminde geçerlidir. Örneklemler yedinci sınıf ve karma sınıf gruplarını da içerir, Türkiye geneli değildir. Sayfa hangi yanılgıların belgelendiği sorusunu yanıtlar, ne kadar yaygın oldukları sorusunu değil.

Bu sayfa çalışma sırası değil, yanılgı listesi verir; program ve konu sırası için üst sayfaya bakın. Yine de kayıtların kendisi bir öncelik gösteriyor: eşitliği denge olarak okuyamayan öğrenci sözel bir durumdan denklem kuramıyor, denklem kuramayan öğrenci koordinat ve grafik geçişlerinde de tıkanıyor. Bu yüzden kontrol, eşitliğin iki tarafına neden aynı işlemin uygulandığı sorusuyla başlar.