Bu sayfa, cebirsel ifadelerde (harf kullanımı, parantez açma, eşittir işareti, örüntü kurma) 8. sınıf öğrencilerinde belgelenmiş yanılgıları veliye ve öğretmene gösterir: harfi sabit bir sayı ya da nesne etiketi sanma, eşittir işaretini sonuç komutu sanma, parantezin dağıtma etkisini atlama. Bu kayıtlar altı yayından derlenmiştir; en büyük kaynak 30 kaydın 13'ünü verir. Sayfa bir çocukta bu hataların bulunduğunu ya da bunların ne kadar yaygın olduğunu göstermez.
30 kaydın 13'ü Akkaya ve Durmuş'un (2006) Bolu'da 120 sekizinci sınıf öğrencisiyle yürüttüğü çalışmadan gelir. Birgin ve Demirören'in 2020 tarihli iki makalesi ayrı yayınlardır, ancak aynı yazar çifti ve aynı il nedeniyle örneklem çakışması olasılığı tamamen dışlanamaz. Örneklem Bolu, Afyonkarahisar ve Kars'ın yanı sıra ili belirtilmeyen gruplardan oluşur; Türkiye geneli değildir.
Kazanım eşlemesi taslaktır. Aşağıdaki bölümlerde geçen kazanım kodları kaynağın kendi beyanı değil, bu yanılgının hangi LGS kazanımını tehdit ettiğine dair bizim okuma önerimizdir; öğretmen gözden geçirene kadar taslak sayılır ve öğretmen onayından geçmemiştir. Ayrıntı: yöntem sayfası §8.
Cebirde harf ve ifadeler konusunda çocuğumda hangi yanılgılar görülüyor?
Cebirde harf, sayı yerine geçebilen bir değer, değişen bir nicelik veya henüz bulunacak bir değer olabilir. Altı kaynaktan beşinde, öğrencinin harfi bu şekilde kuramadığına dair kayıtlar var; bazıları öğrenci cevabı, bazıları yalnızca oran veriyor.
A1. Harfi yalnız rakam ya da çok basamaklı sayı sanma
Öğrenci 2xy ifadesini bir sayı gibi okuyabiliyor, xy=8 eşitliğinin kurulamayacağını düşünebiliyor veya harfin yalnız rakam olabileceğini sanabiliyor.
Öğrenci cevabı: 2xy=240 sorusunda y=0 cevabı verme; 2xy'yi üç basamaklı sayı sanma.
Kaynakta verilen görülme oranları: %7, %23.33 ve %16.04.
Bağlı taslak kazanım: M.8.2.1.1 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
A2. Harflerin farklı veya değişmez değer taşıdığını sanma
Farklı harflerin aynı değeri alamayacağı, tek kalan harfin 1 olacağı ya da her harfin tek bir değeri olduğu düşünülüyor.
Öğrenci cevabı: Terazi sorusunda z ve t farklı harflerle gösterildiği için ağırlıklarının aynı olamayacağını düşünme.
Kaynakta verilen görülme oranları: %68, %9.5, %11.66 ve %6.66.
Bağlı taslak kazanım: M.8.2.1.1 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
A3. Harfi alfabe sırası veya nesne etiketiyle açıklama
Öğrenci c'nin alfabedeki sırasını değer sayabiliyor, harflerin değeri alfabedeki sırayla artar diye düşünebiliyor veya 2m+3n'yi "2 muz ve 3 nar" diye okuyabiliyor.
Öğrenci cevabı: "c" harfi alfabede üçüncü harf olduğu için 3'e eşittir.
Kaynakta verilen görülme oranları: %45, %35 ve %8.55.
Bağlı taslak kazanım: M.8.2.1.1 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
A4. Harfli ifadeyi günlük sözcük ya da eksik işlemle okumak
Harfleri kelime etiketi sayma, harflere sayılar gibi davranma veya değişkenle işlem yapamama bu başlıkta toplanır.
Öğrenci cevabı: 3k+2d=15 denklemini kurmak yerine 3+2=5 olduğundan k+d=5 yazma.
Kaynakta verilen görülme oranları: %19, %16 ve %20.
Bağlı taslak kazanım: M.8.2.1.1 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
A5. Bilinmeyen, değişken ve cebirsel ifadeyi birbirine karıştırma
Öğrenci bilinmeyeni yalnız harf sanabiliyor; cebirsel ifadeyi denklem veya harf-sayı yan yanalığı diye tanımlayabiliyor.
Öğrenci cevabı: "Cebirsel ifadeyi bilinmeyeni bulma olarak düşünüyorum."
Kaynakta verilen görülme oranları: %13.63, %35 ve %23.
Bağlı taslak kazanım: M.8.2.1.1 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
Kaynak: Çakmak Gürel, Z. & Okur, M. (2017), s. 486-490, s. 492-493; Akkaya, R. & Durmuş, S. (2006), s. 5-7; Birgin, O. & Demirören, K. (2020), s. 108; Altıntaş, E. ve diğerleri (2021), s. 799; Şahin, H. & Masal, M. (2021), s. 82. Tezlerin ve makalelerin erişim yeri: YÖK Ulusal Tez Merkezi.
İşlem yapısını ve eşitliği koruyamama nasıl ortaya çıkıyor?
Parantez açma, eşitliğin iki tarafını koruma ve işlem önceliği, cebirsel ifadelerin doğru kurulmasının temelidir. Bu üç kural bozulduğunda sonuç yanlış olmasa bile ifade yanlış kurulur.
B1. Parantezin dağıtma etkisini atlama
Öğrenci 6(x+3) ifadesini 6x+3, 2(a+b) ifadesini 2a+b ya da 6(a+2) ifadesini 6a+2 olarak kurabiliyor.
Öğrenci cevabı: 6(x+3) işleminde 6·x+6·3 yerine 6·x+3 yapma.
Kaynakta verilen görülme oranları: %5, %38.75 ve %9.2.
Bağlı taslak kazanım: M.8.2.1.2 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
B2. Eşittir ve artı işaretini yalnız sonuç üretme komutu sanma
Öğrenci 2+a=2a yazabiliyor veya eşitliği iki aynı değerin ilişkisi yerine sıradaki işlemin işareti olarak görüyor.
Öğrenci cevabı: 2+a = 2a.
Kaynakta verilen görülme oranları: %24.5 ve %14.66.
Bağlı taslak kazanım: M.7.2.2.1 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
B3. İşlem önceliğini soldan sağa tek sıra sanma
Öğrenci çarpma-toplama sırasının sonucu değiştirmediğini veya her zaman soldan sağa işlem yapılacağını düşünebiliyor.
Öğrenci cevabı: 2 + 3 x 4 işleminde hangi işlemin önce yapıldığının sonucu değiştirmediğini düşünme.
Kaynakta verilen görülme oranları: %56.66 ve %8.33.
Bağlı taslak kazanım: M.7.1.3.3 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
Kaynak: Çakmak Gürel & Okur (2017), s. 495-496; Akkaya & Durmuş (2006), s. 6; Birgin & Demirören (2020), s. 240-242, s. 108.
Cebirsel ifadeyi şekil ve örüntüye taşırken hangi hatalar oluyor?
Bir geometrik büyüklüğü ya da bir örüntünün kuralını cebirsel ifadeye çevirmek, hem cebirin hem de o alanın kendi kurallarını aynı anda doğru kurmayı gerektirir.
C1. Geometrik durumu cebirsel ifadeye yanlış aktarma
Bir karenin alanı A iken üç karenin alanını 3A2 veya A3 yazma; kapalı şeklin çevresinde iç kenarları da toplama bu kümededir.
Öğrenci cevabı: Bir karenin alanı A ise 3 karenin alanı 3A2; kapalı şeklin çevresi için 8b+2a yazma.
Kaynakta verilen görülme oranları: %37.5 ve %16.7.
Bağlı taslak kazanım: M.7.2.1.3 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
C2. Örüntü kuralını ve terim hesabını birbirine karıştırma
Öğrenci artışı yalnız x+4 gibi yazabiliyor; yanlış kuraldan yirminci terimi hesaplayabiliyor.
Öğrenci cevabı: Şekilde kenarlar 5'erli arttığı için kural x+5; 4'er artan dizi için x+4 ya da 4x.
Kaynakta verilen görülme oranları: %21.7 ve %22.7.
Bağlı taslak kazanım: M.7.2.1.3 (öğretmen onayından geçmemiş eşleme).
Kaynak: Birgin, O. & Demirören, K. (2020), s. 240-243.
Bu sayfanın kayıtları, taslak kazanım eşlemesiyle şöyle dağılır:
| Taslak kazanım | Envanterdeki kayıt sayısı |
|---|---|
| M.8.2.1.1 | 20 |
| M.8.2.1.2 | 4 |
| M.7.1.3.3 | 3 |
| M.7.2.2.1 | 2 |
| M.7.2.1.3 | 2 |
Envanterin bu konudaki 30 kaydı bu sayfada 10 başlıkta toplanmıştır; aynı yanılgının farklı soru ve kaynaklardaki tekrarları kümelenmiştir. Bir kayıt iki taslak kazanımla eşlenebildiği için özet tablonun toplamı (31) kayıt sayısından (30) büyük görünmektedir.
Derste ne görüyorum
8. sınıf düzeyinde öğrenciler cebirsel ifade konusunda baş katsayı, sabit terim gibi temel kavramları bilseler bile ezbere gittikleri görülüyor. Örneğin 3x ifadesinde baş katsayı sorulduğunda 3 cevabını veren bir öğrenci, -x ifadesinde baş katsayının -1 olduğunu söyleyemiyor. Ayrıca bazı öğrencilerde 2x + y sorulduğunda 3x deme eğilimi görülüyor. Burada cebir karoları büyük önem taşıdığı kadar öğrenciye şu soru da sorulmalı: "2 armudunuz var ve anneniz 3 elma daha verdi; elinizde ne var?" Öğrenci "2 armut ve 3 elma" cevabını verince şöyle açıklanmalı: "5 elmam var" ya da "5 armudum var" demedin, çünkü elinde 2 armut ve 3 elma var. Cebirsel ifadelerde de durum aynıdır; bu ilişkilendirme yaptırılmalı. Ayrıca cebirsel ifade konusundaki başarısızlık doğrudan denklem ve fonksiyon konularına da etki edeceği için öğrencinin olumlu tutum göstermesi şarttır.
— Muhammed Erin
Bu sayfanın sınırı
Bu sayfa bir tanı aracı değildir ve şu sınırları vardır:
- Kaynak yoğunluğu eşit değildir: altı yayın olmakla birlikte en büyük kaynak 30 kaydın 13'ünü tek başına verir.
- Birgin ve Demirören'in (2020) iki makalesi ayrı yayınlardır; ancak aynı yazar çifti ve aynı il nedeniyle örneklem çakışması olasılığı tamamen dışlanamaz, bu yüzden "altı bağımsız çalışma" ifadesi bu rezervle okunmalıdır.
- Örneklem Bolu, Afyonkarahisar ve Kars'ın yanı sıra ili belirtilmeyen gruplardan oluşur; yedinci, sekizinci ve karma sınıf grupları kullanılmıştır. Örneklem Türkiye geneli değildir.
- Envanterin bu konudaki 30 kaydının bir kısmında nicel oran yoktur; oran verilmeyen başlıklar için yeni sayı üretilmemiştir.
Sık sorulan sorular
Altı yayından derlenen 30 kayıt, cebirde harfin anlamının kurulamaması, işlem yapısının ve eşitliğin korunamaması, cebirsel ifadenin şekil ve örüntüye yanlış aktarılması olmak üzere üç grupta toplanıyor. En büyük kaynak Akkaya ve Durmuş'un (2006) Bolu'da 120 sekizinci sınıf öğrencisiyle yürüttüğü çalışmadır ve 30 kaydın 13'ünü verir. Aşağıdaki başlıklar bu altı çalışmadaki kayıtları tek tek listeler; hiçbiri tek başına çocuğunuzda bu yanılgının bulunduğu anlamına gelmez.
Çakmak Gürel ve Okur'un (2017) ve Akkaya ile Durmuş'un (2006) çalışmalarında öğrenciler 2xy gibi bir ifadeyi çok basamaklı bir sayı sanabiliyor ya da 2xy=240 sorusunda y=0 cevabını verebiliyor; bu kayıtlar %7, %23.33 ve %16.04 olarak verilmiş. Cebirde harf yalnız bir rakamın yerini tutmaz, farklı değerler alabilen bir nicelik olabilir. Çocuğa aynı harfin farklı sorularda farklı bir sayı olabileceğini örneklerle göstermek bu karışıklığı azaltır.
Çakmak Gürel ve Okur'un (2017) çalışmasında öğrenciler bir terazi sorusunda z ve t harflerinin farklı gösterildiği için ağırlıklarının aynı olamayacağını düşünmüş; Akkaya ve Durmuş'un (2006) çalışmasında benzer kayıtlar %68, %9.5, %11.66 ve %6.66 olarak verilmiş. Cebirde farklı harfler aynı değeri alabilir, aynı harf de sorudan soruya farklı bir değer taşıyabilir. Çocuğa iki farklı harfin aynı sayıyı gösterebileceği somut bir örnek çözdürmek bu ayrımı netleştirir.
Akkaya ve Durmuş'un (2006) çalışmasında öğrenciler harfin değerini alfabedeki sırasından çıkarabiliyor ya da 2m+3n gibi bir ifadeyi nesne adlarıyla okuyabiliyor; Birgin ve Demirören'in (2020) çalışmasıyla birlikte bu kayıtlar %45, %35 ve %8.55 olarak verilmiş. Harf burada bir nesne etiketi ya da alfabe sırası değil, bilinmeyen bir sayının yerini tutar. Çocuğa harfin hangi sayının yerine geçtiğini bir denklemle birlikte sorduğunuzda bu karışıklık görünür hale gelir.
Çakmak Gürel ve Okur'un (2017) ve Altıntaş ve diğerlerinin (2021) çalışmalarında öğrenciler harfli ifadeleri kelime etiketi gibi okuyup katsayılarla değişkenleri toplayabiliyor; bu kayıtlar %19, %16 ve %20 olarak verilmiş. Burada sorun işlem hatası değil, harfli terimlerin sayılarla doğrudan toplanamayacağının kurulamamasıdır. Çocuktan k ve d'nin farklı iki nicelik olduğunu, birbirine dönüştürülemeyeceğini sözle anlatmasını istemek bu eksikliği gösterir.
Altıntaş ve diğerlerinin (2021) ve Şahin ile Masal'ın (2021) çalışmalarında öğrenciler cebirsel ifadeyi bilinmeyeni bulma olarak tanımlayabiliyor ya da bilinmeyeni yalnızca harf sanabiliyor; bu kayıtlar %13.63, %35 ve %23 olarak verilmiş. Bilinmeyen tek bir değeri arayan harftir, değişken duruma göre farklı değerler alabilen harftir, cebirsel ifade ise bunları içeren bir ifadedir. Çocuğa bir denklemdeki harfle bir örüntüdeki harfin aynı role sahip olup olmadığını sorduğunuzda bu ayrım netleşir.
Çakmak Gürel ve Okur'un (2017), Akkaya ve Durmuş'un (2006) ve Birgin ile Demirören'in (2020) çalışmalarında öğrenciler parantez içindeki ikinci terimi çarpmadan bırakabiliyor; bu kayıtlar %5, %38.75 ve %9.2 olarak verilmiş. Parantezin dağıtma özelliği, dışındaki katsayının içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılmasını gerektirir. Çocuktan 6(x+3) işlemini adım adım, önce 6 çarpı x sonra 6 çarpı 3 diye yazdırmak bu eksik adımı görünür kılar.
Akkaya ve Durmuş'un (2006) çalışmasında öğrenciler eşittir işaretini iki tarafın eşit değerde olduğu bir ilişki yerine, sıradaki işlemi başlatan bir komut gibi kullanabiliyor; bu kayıt %24.5 ve %14.66 olarak verilmiş. 2+a ile 2a farklı ifadelerdir, toplama ile çarpma birbirinin yerine geçmez. Çocuğa 2+a ile 2a'yı a=3 gibi bir sayı için ayrı ayrı hesaplatmak aradaki farkı gösterir.
Akkaya ve Durmuş'un (2006) ve Birgin ile Demirören'in (2020) çalışmalarında öğrenciler 2+3x4 gibi bir işlemde çarpmanın mı toplamanın mı önce yapılacağının sonucu değiştirmediğini düşünebiliyor; bu kayıt %56.66 ve %8.33 olarak verilmiş. İşlem önceliği kuralı bozulduğunda aynı ifade farklı sonuçlar verir. Çocuktan aynı işlemi önce çarpmayı, sonra toplamayı öne alarak iki kez çözmesini istemek farkı somutlaştırır.
Birgin ve Demirören'in (2020) çalışmasında öğrenciler bir karenin alanı A iken üç karenin alanını 3A2 ya da A3 diye yazabiliyor, kapalı bir şeklin çevresini hesaplarken iç kenarları da toplayabiliyor; bu kayıtlar %37.5 ve %16.7 olarak verilmiş. Sorun, geometrik büyüklüğü cebirsel ifadeye aktarırken hangi işlemin kullanılacağının karışmasıdır. Çocuktan üç kareyi tek tek çizip alanlarını ayrı ayrı yazdırmak, sonra toplatmak bu adımı ayırır.
Birgin ve Demirören'in (2020) çalışmasında öğrenciler örüntüdeki artışı doğru bulsa bile onu kural olarak yanlış kurabiliyor; örneğin 4'er artan bir dizi için x+4 ya da 4x yazabiliyor. Bu kayıtlar %21.7 ve %22.7 olarak verilmiş. Örüntü kuralı ile belirli bir terimin hesabı farklı adımlardır; kural yanlış kurulduğunda terim hesabı da yanlış çıkar. Çocuktan kuralı kurduktan sonra onu ilk birkaç terimle sınamasını istemek hatayı erken yakalar.
Altı yayından. 30 kaydın 13'ü Akkaya ve Durmuş'un (2006) Bolu'da 120 öğrenciyle yürüttüğü çalışmadan, kalan 17 kayıt beş ayrı çalışmadan gelir. Çalışmalar Bolu, Afyonkarahisar ve Kars'ın yanı sıra ili belirtilmeyen örneklemlerden oluşur ve yedinci, sekizinci, karma sınıf gruplarını kapsar; Türkiye geneli değildir. Bu yüzden bu yanılgıların ülke genelinde ne kadar yaygın olduğu söylenemez ve sayfa, belirli bir çocukta bu hataların bulunduğunu göstermez. Bir çocuğun durumu ancak kendi kâğıdı ve gerekçesi üzerinden değerlendirilir.
Kaynaklar
- Akkaya, R. & Durmuş, S. (2006). Bolu'da 120 sekizinci sınıf öğrencisiyle uygulanan Cebir Testi. Bu sayfadaki kayıtların alındığı sayfalar: s. 5-7, s. 6. Bu kaynaktan 13 kayıt alınmıştır.
- Birgin, O. & Demirören, K. (2020). Afyonkarahisar'da 120 sekizinci sınıf öğrencisiyle 5 soruluk cebir testi. Bu sayfadaki kayıt: s. 108. Bu kaynaktan 5 kayıt alınmıştır.
- Çakmak Gürel, Z. & Okur, M. (2017). İli belirtilmeyen 154 karma sınıf örnekleminde açık uçlu bilgi testi. Bu sayfadaki kayıtların alındığı sayfalar: s. 486-487, s. 489-490, s. 492-493, s. 495-496. Bu kaynaktan 4 kayıt alınmıştır.
- Altıntaş, E., İlgün, Ş., Uygun, S. & Angay, M. (2021). Kars'ta 31 yedinci sınıf öğrencisiyle açık uçlu test. Bu sayfadaki kayıtların alındığı sayfalar: s. 799, s. 801. Bu kaynaktan 4 kayıt alınmıştır.
- Şahin, H. & Masal, M. (2021). İli belirtilmeyen 71 yedinci sınıf öğrencisiyle kavram imajı incelemesi. Bu sayfadaki kayıt: s. 82. Bu kaynaktan 2 kayıt alınmıştır.
- Birgin, O. & Demirören, K. (2020). Afyonkarahisar'da 180 karma sınıf örnekleminde 28 soruluk Cebirsel İfadeler Başarı Testi. Bu sayfadaki kayıtlar: s. 240-242, s. 241-243. Bu kaynaktan 2 kayıt alınmıştır.
- Lemma kavram yanılgısı envanteri (yayımlanmamış çalışma kaydı): bu sayfadaki kayıtların derlendiği iç veri dosyası. Envanterin yöntemi, eleme ölçütleri ve bilinen sınırları için yöntem sayfası.
- YÖK Ulusal Tez Merkezi: taranan lisansüstü tezlerin erişim yeri.
Bu sayfadaki bulgular, cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konusunda tam metnine erişilen 6 çalışmadan derlenen 30 kayda dayanır. Envanterin tamamı 31 çalışmadan (11 yüksek lisans tezi, 20 dergi makalesi) derlenmiştir ve bu 31 çalışmanın 31'i de Maarif Modeli öncesi müfredatla yürütülmüştür; kavram yanılgıları müfredattan büyük ölçüde bağımsızdır, ancak kazanım adlandırmaları farklılık gösterebilir. Tam liste, eleme ölçütleri ve bilinen sınırlar: yöntem sayfası. Son güncelleme: 04.09.2026.